Michaelis-Menten-kinetik

Studiet af kemiske reaktioners forløb kaldes reaktionskinetik. Enzymkinetik handler derfor om reaktioner, der er katalyseret af enzymer. Specielt er reaktionshastigheder ofte interessante, da de siger meget om reaktioners forløb.

I det følgende vil en række ligninger blive præsenteret. Da det kan være udfordrende at huske, hvad alle variabler, konstanter og tegn betyder, kan du finde en oversigt over dem samt deres beskrivelser herunder:

Oversigt over symboler og betydninger

Forkortelse	Betydning
E	Enzym (fri, ikke bundet til substrat)
S	Substrat
R	Reaktant (ofte synonymt med substrat)
ES	Enzym-substrat kompleks
P	Produkt
V	Reaktionshastighed
V₀	Initial hastighed (start-hastighed)
Vmax	Maksimal hastighed, når enzymet er mættet med substrat
Km	Michaelis-konstant – substratkoncentration ved halvdelen af Vmax
k₁	Hastighedskonstant for dannelse af ES
k₋₁	Hastighedskonstant for dissociation af ES tilbage til E + S
k₂	Hastighedskonstant for omdannelse af ES til E + P
[X]	Koncentration af stof X (f.eks. [S] = substratkoncentration)
[X]Τ	Total koncentration af stof X (fri + bundet)

Vi betragter først en simpel førsteordensreaktion, hvor reaktanten R omdannes til produktet P:

Reaktion 3:

$R \rightarrow P$

Reaktionen har en hastighed V, som angiver, hvor hurtigt reaktanten R forsvinder eller produktet P dannes pr. tidsenhed. I nogle tilfælde er disse to størrelser ikke ens, men blot proportionale. I det følgende antager vi, at de er ens.

I praksis ser man på, hvordan koncentrationerne [R] og [P] ændrer sig over tid:

Ligning 1:

$V = \frac{\Delta [P]}{\Delta t} = \frac{- \Delta [R]}{\Delta t}$

En førsteordensreaktion betyder, at reaktionshastigheden er proportional med koncentrationen af en reaktant. Jo mere reaktant der er til stede, desto hurtigere forløber reaktionen. Proportionalitetskonstanten kaldes reaktionens hastighedskonstant og betegnes k.

Ligning 2:

$V = k \cdot [R]$

Ovenstående danner grundlaget for Michaelis–Menten-modellen (1913), som beskriver, hvordan et enzym (E) og et substrat (S) danner et kompleks, der omdannes til produkt. Substrat er enzymreaktionens reaktant. Reaktionsskemaet er:

Reaktion 4:

$E + S \rightleftharpoons ES \rightleftharpoons E + P$

Både dannelse af enzym-substrat-komplekset (ES) og produktet er reversible reaktioner. ES dannes med hastighedskonstanten k₁ og dissocierer med k₋₁. Produkt dannes med k₂, og den modsatte reaktion har hastighedskonstant k₋₂. For at forenkle ser vi på reaktionen lige efter blanding af enzym og substrat, hvor der endnu ikke er noget produkt. Derfor kan k₋₂ reaktionen negligeres. Reaktionen ser nu således ud:

Reaktion 5:

$E + S \rightleftharpoons ES \overset{k_2}{\rightarrow} E + P$

Hastighedskonstanten k₁ beskriver, hvor hurtigt enzym og substrat danner ES, mens k₋₁ angiver, hvor hurtigt ES dissocierer uden at danne produkt. Dannelsen af produkt fra ES sker med hastighedskonstanten k₂. Reaktionshastigheden lige efter start kaldes V₀ og kan beregnes på følgende måde:

Ligning 3:

$V_0 = k_2 \cdot [ES]$

Ligning 3 kan omskrives, så den udtrykkes ved startkoncentrationen af enzym og substrat. Dermed kan der opstilles formler for, hvor hurtigt ES-komplekset henholdsvis dannes og nedbrydes.

Hastigheden for dannelse af ES-komplekset ( $V_{dannelse}$ ) er produktet af koncentrationerne af enzym og substrat og hastighedskonstanten k₁:

Ligning 4:

$V_{dannelse} = k_1 \cdot [E] \cdot [S]$

Hastigheden for dissociation og omdannelse af ES-komplekset ( $V_{dissociation}$ ):

Ligning 5:

$V_{dissociation} = k_{-1} \cdot [ES] + k_2 \cdot [ES] \leftrightarrow V_{dissociation} = (k_{-1} + k_2) \cdot [ES]$

Reaktionen når næsten øjeblikkeligt en tilstand kaldet steady state, hvor koncentrationen af ES-komplekset er konstant. Det betyder, at hastigheden af dannelse og nedbrydning (dissociation plus produktdannelse) af ES-komplekset er den samme. Ligning 4 og 5 kan derfor sættes lig hinanden og omskrives:

Ligning 6:

$k_1 [E] \cdot [S] = (k_{-1} + k_2) \cdot [ES]$

$\leftrightarrow \frac{[E] \cdot [S]}{[ES]} = (k_{-1} + k_2)$

$\leftrightarrow \frac{[E] \cdot [S]}{[ES]} = \frac{k_{-1} + k_1}{k_2}$

Fordi højresiden kun består af konstanter, kan udtrykket forsimples ved at indføre Michaelis-Menten-konstanten (Kₘ). Denne defineres som højresiden af den omskrevne ligning 6:

Ligning 7:

$K_M = \frac{k_{-1} + k_2}{k_1}$

Michaelis-Menten-konstanten angiver enzymets bindingsaffinitet for substratet og er derfor meget vigtig. Den er specifik for den pågældende reaktion og kan bestemmes eksperimentelt eller slås op.

I kroppen og andre biologiske systemer er substratkoncentrationen næsten altid langt højere end enzymkoncentrationen. Det betyder, at koncentrationen af frit substrat næsten svarer til den totale substratkoncentration. Hvis [S] er koncentrationen af frit substrat, og [S]ᴛ den totale koncentration, kan man derfor antage:

Ligning 8:

$[S] \approx [S]_T$

Koncentrationen af frit enzym kaldes [E], mens den totale enzymkoncentration kaldes [E]ᴛ. I modsætning til substratet vil en stor del af enzymet være bundet i ES-komplekset. Koncentrationen af frit enzym kan derfor skrives som den totale koncentration minus koncentrationen af ES-komplekset:

Ligning 9:

$[E] = [E]_T - [ES]$

Ligning 8 og 9 kan indsættes i ligning 7:

Ligning 10:

$\frac{([E]_T - [ES]) \cdot [S]}{[ES]} = K_M$

Løses der for [ES] findes

Ligning 11:

$[ES] = [E]_T \cdot \frac {[S]}{[S] + K_M}$

Der er nu et udtryk for koncentrationen af ES-komplekset, [ES]. Dette kan indsættes i ligning 3, som beskriver V₀, altså hastigheden, hvormed produktet P dannes:

Ligning 12:

$V_0 = k_2 \cdot [E]_T \cdot \frac{[S]}{[S] + K_M}$

Det er nu muligt at beskrive reaktionens maksimale hastighed, Vmax, altså den højeste værdi, V₀ kan antage. Ud fra ligning 3 ses, at V₀ stiger, når [ES] stiger. Maksimal [ES] opnås biologisk, når alle tilstedeværende enzymer er bundet i komplekser, hvilket ofte sker, fordi substratkoncentrationen er langt højere end enzymkoncentrationen. På dette punkt arbejder alle enzymer konstant med at katalysere reaktionen. I denne situation gælder:

Ligning 13:

$[ES] = [E]_T$

Ud fra ligning 3 og ligning 13 kan der skrives et udtryk for maksimalhastigheden ( $V_{max}$ ) :

Ligning 14:

$V_{max} = k_2 \cdot [E]_T$

Vi kan nu indsætte ligning 14 i ligning 12:

Ligning 15:

$V_0 = V_{max} \frac{[S]}{[S] + K_M}$

Den berømte Michaelis-Menten-ligning er nu udledt og udgør en central del af al enzymkinetik.

Betydningen af maksimalhastigheden er allerede forklaret, men hvad fortæller KM os? Hvis [S] sættes lig KM i Michaelis-Menten-ligningen, fås:

Ligning 16:

$V_0 = V_{max} \cdot \frac{K_M}{K_M + K_M} = V_{max} \frac{1}{2}$

Resultatet bliver halvdelen af maksimalhastigheden. Det betyder, at KM er den substratkoncentration, hvor reaktionen forløber med halvdelen af Vmax. På figur 6 ses en grafisk afbildning af sammenhængen mellem [S] og V₀ ifølge Michaelis-Menten-ligningen.

KM-værdien beskriver enzymets affinitet for substratet, altså hvor let enzymet danner kompleks med substratet. En lav KM betyder, at lidt substrat er nok til at nå hastigheder tæt på Vmax, mens en høj KM kræver mere substrat.

KM påvirker ikke Vmax, men bestemmer, hvor meget substrat der skal til for at nærme sig maksimalhastigheden. Vmax og KM kan derfor have høje eller lave værdier uafhængigt af hinanden.

Figur 6. Michaelis-Menten ligningen afbildet grafisk. Kurven viser tydeligt hvad der sker med reaktionshastigheden når koncentrationen af substrat øges. Ligeledes kan man se hvilken betydning V_max og K_M har.